Les mathématiques de l'impossible : la quadrature du cercle !

Résumé

Présentation historique et scientifique des concepts mathématiques réellement impossibles ou longtemps jugés comme tel (quadrature du cercle, duplication du cube...), ainsi que des conjectures célèbres (hypothèse de Riemann, conjecture de Hodge...) dont la démonstration est réputée insurmontable.

Éditeur(s)
- POLE
Date
- 2014
Langues
- Français
Description matérielle
- 1 vol. (160 p.) : illustrations en noir et en couleur ; 24 x 17 cm
Collections
- Bibliothèque Tangente
Sujet(s)
- Géométrie -- Problèmes classiques
- Mathématiques
ISBN
- 978-2-84884-156-4
Indice
- 51 Ouvrages généraux de mathématiques, ouvrages de vulgarisation
Quatrième de couverture
- Les maths de l'impossible
  La quadrature du cercle !
  ¤ C'est impossible, on l'a montré !
  ¤ Variations autour de la notion de preuve
  ¤ ils existent, mais où sont-ils?
  ¤ Jouer avec l'impossible
  « Mais c'est impossible ! »
  De tous temps, des esprits inspirés, créatifs, originaux, ont bousculé les idées reçues et pensé des objets « qui ne devraient pas exister ». Ces inventeurs, qui ont parfois raison contre la pensée dominante, sont à la base des grandes découvertes. Les mathématiques ne font pas exception : leur histoire est semée de paradoxes, de preuves d'impossibilité, d'hypothèses et de conjectures.
  Tout commence avec les problèmes déliaques : quadrature du cercle, trisection de l'angle, duplication du cube, construction de polygones réguliers à la règle et au compas... La question de l'impossibilité se posera ensuite pour les nombres imaginaires, pour la résolubilité par radicaux des équations polynomiales, en théorie des ensembles, pour la notion d'infini. Des conjectures célèbres ont été résolues... ou infirmées.
  D'autres sont encore à prouver, des défis qui peuvent rapporter jusqu'à un million de dollars. En mathématiques, quand c'est impossible, on trouve souvent des pépites !
Tables des matières
- - Les mathématiques de l'impossible
  - Impossibles ces figures ?5
  - Littlewood, le mathématicien qui tutoyait l'impossible8
  - Dossier C'est impossible, on l'a montré !11
  - De nombreux problèmes datant de l'Antiquité ont été prouvés insolubles, alors même qu'ils étaient bien posés. Certains sont devenus de grands classiques.
  - La quadrature du cercle12
  - La trisection de l'angle16
  - Impossible est-il géométrique ?22
  - Rapports d'engrenages impossibles : comment ne pas se casser les dents26
  - Des imaginaires parfois complexes32
  - Quand des systèmes élémentaires sont impossible36
  - Systèmes linéaires impossibles et inverses généralisés38
  - Raymond Queneau et les équations de degré 544
  - Un découpage paradoxal et néanmoins rigoureux50
  - Théorèmes d'impossibilité relatifs à des élections54
  - Algorithmes numériques impossibles58
  - Dossier Variations autour de la notion de preuve63
  - Les sciences progressent souvent en posant des questions qui reflètent l'intuition de leur auteur. En mathématiques, ces questions reçoivent le nom de conjectures. Parfois des démonstrations sont fournies, mais si difficiles à reproduire qu'un doute subsiste sur leur validité. L'outil informatique peut alors être d'un grand secours.
  - La notion d'axiome à travers les siècles64
  - Le statut particulier des conjectures68
  - Les grandes conjectures72
  - L'impossible de Gödel : la fin d'un rêve74
  - Des preuves inacceptables ?80
  - Les grands théorèmes81
  - Le monumental théorème de Feit - Thompson reçoit une preuve formelle82
  - Quand les calculs deviennent impraticables86
  - Dossier Ils existent, mais où sont-ils ?89
  - En mathématiques, il est possible de démontrer que des objets existent sans jamais les exhiber. On parle alors de preuves non constructives. Cela pose sous un angle nouveau la question de l'existence en mathématique : suffit-il de définir un concept pour lui donner vie, ou doit-on explicitement le construire ?
  - L'échelle de l'existence mathématique90
  - Impossibles, les évènements de probabilité nulle ?96
  - Les infinitésimaux nilpotents pour l'analyse102
  - Les fonctions réciproques106
  - Les fonctions implicites110
  - Dossier Jouer avec l'impossible113
  - Il est facile, si l'on n'y prend garde, de tomber dans le piège d'un raisonnement subtilement erroné. Plusieurs paradoxes reposent sur de telles manipulations. Des esprits curieux vont alors explorer les conséquences des règles de la logique, par exemple pour résoudre un problème d'apparence impossible dont il semble que toutes les données soient manquantes.
  - Le problème impossible114
  - Un problème impossible et néanmoins souluble !116
  - Magiciens de père en fils119
  - Paradoxes et démonstrations paradoxales120
  - Les bijections inattendues124
  - On va faire un petit tour... en base 4127
  - Ces extraordinaires courbes de remplissage128
  - Les jetons bicolores135
  - L'égalité de tous les réels ou le théorème de l'impôt cible140
  - Impossible, même à un Dieu omnipotent ?143
  - Les chaussettes de Ramsey144
  - Les trois dés148
  - En bref21, 35, 100, 101
  - Notes de lecture31, 53
  - Problèmes150
  - Solutions154
Origine de la notice:
- Electre