Les groupes finis et leurs représentations

Auteur(s) :

Rauch, Gérard Découvrir l'auteur

Résumé

Thèmes abordés (cours et exercices tirés de sujets d'examen) : groupe abélien fini, groupe symétrique, théorème de Sylow, représentation induite, critère de Mackey, loi de réciprocité quadratique de Gauss, tableaux de Young.

Éditeur(s)
- Ellipses-Marketing
Date
- 2000
Notes
- Bibliogr. Index
- La couv. porte en plus : cours et exercices corrigés
Langues
- Français
Description matérielle
- 142 p. ; 26 x 18 cm
Collections
- Mathématiques pour le 2e cycle
Sujet(s)
ISBN
- 2-7298-0180-4
Indice
- 512.95 Structures algébriques (groupes, anneaux, corps etc.), treillis
Quatrième de couverture
- La collection Mathématiques 2^e cycle se propose de mettre à la disposition des étudiants de licence et de maîtrise de mathématiques des ouvrages couvrant l'essentiel des programmes actuels des universités françaises. Certains de ces ouvrages pourront être utiles aussi aux étudiants qui préparent le CAPES ou l'agrégation, ainsi qu'aux élèves des grandes écoles.
  Nous avons voulu rendre ces livres accessibles à tous : les sujets traités sont présentés de manière simple et progressive, tout en respectant scrupuleusement la rigueur mathématique. Chaque volume comporte un exposé du cours avec des démonstrations détaillées de tous les résultats essentiels et de nombreux exercices. Les auteurs de ces ouvrages ont tous une grande expérience de l'enseignement des mathématiques au niveau supérieur.
  Ce livre s'adresse aux étudiants du second cycle universitaire en mathématiques. Il est le fruit de plusieurs années d'enseignement d'algèbre en licence et en maîtrise. Les nombreux exemples d'arithmétique et de géométrie, intéresseront aussi les candidats aux concours de recrutement pour le professorat des collèges et des lycées (capes et agrégations).
  Les mots-clés élémentaires sont : groupe abélien fini, groupe symétrique, théorème de Sylow et caractère.
  Les objectifs atteints sont : la table des caractères d'un groupe fini, la représentation induite, le critère de Mackey et les tableaux de Young.
Tables des matières
- - Les groupes finis et leurs représentations
  - Gérard Rauch
  - ellipses
  - Avant-propos1
  - 1 Le vocabulaire de base de la théorie des groupes7
  - 1.1 Le théorème de Lagrange7
  - 1.2 Le premier théorème d'isomorphisme8
  - 1.3 Produits de groupes9
  - 1.3.1 Le produit direct de deux groupes9
  - 1.3.2 Le produit semi-direct de deux groupes10
  - 1.3.3 Une formule utile11
  - 1.4 Groupe défini par générateurs et relations11
  - 1.5 Centre et groupe dérivé: deux sous-groupes utiles13
  - 1.6 Exemples de groupes14
  - 2 La structure des groupes abéliens de type fini17
  - 2.1 Les groupes monogènes17
  - 2.2 La structure des groupes abéliens finis19
  - 2.3 Groupes abéliens libres de rang fini r21
  - 2.4 Groupes abéliens de type fini23
  - 3 Les théorèmes de Sylow et le groupe symétrique25
  - 3.1 Opération de groupe25
  - 3.2 Les résultats de Sylow28
  - 3.3 Quelques éléments sur le groupe symétrique30
  - 4 Introduction à la théorie des représentations linéaires39
  - 4.1 Premières définitions et premiers exemples39
  - 4.2 Premiers résultats42
  - 4.3 Trois procédés de fabrication de représentations43
  - 4.3.1 Quotient par un sous-groupe distingué43
  - 4.3.2 Le produit tensoriel43
  - 4.3.3 La représentation de permutation44
  - 4.4 Caractère d'une représentation linéaire45
  - 5 Les outils; premières applications49
  - 5.1 Les résultats de base sur les représentations linéaires complexes des groupes finis49
  - 5.1.1 Les relations d'orthogonalité50
  - 5.1.2 Éléments pour une démonstration du théorème52
  - 5.2 Exemples56
  - 5.2.1 La représentation de permutation56
  - 5.2.2 Les caractères des groupes U4 et D458
  - 5.2.3 Le groupe des quaternions60
  - 5.2.4 Un dernier exemple: le groupe dicyclique d'ordre 1261
  - 6 Propriétés d'intégralité des caractères63
  - 6.1 Entiers algébriques63
  - 6.2 L'algèbre d'un groupe fini64
  - 6.3 Une propriété du degré d'une représentation irréductible66
  - 6.4 Groupes résolubles66
  - 6.5 Un théorème de Burnside67
  - 6.6 Deux divertissements68
  - 6.6.1 Des entiers algébriques dans les corps cyclotomiques68
  - 6.6.2 Des entiers relatifs dans la table des caractères du groupe symétrique70
  - 6.6.3 Des zéros dans la table des caractères d'un groupe fini70
  - 6.7 Appendice: la simplicité de Un, "formule mathématique non exprimables en texte html"71
  - 7 La représentation induite73
  - 7.1 Définition et existence73
  - 7.1.1 Notion de représentation induite73
  - 7.1.2 Construction d'une représentation induite74
  - 7.1.3 Les caractères irréductibles du groupe diédral74
  - 7.1.4 Propriétés élémentaires de la représentation induite76
  - 7.2 La formule de réciprocité de Frobenius78
  - 7.2.1 Calcul du caractère induit78
  - 7.2.2 La formule de Frobenius78
  - 7.3 Le critère d'irréductibilité de Mackey80
  - 7.4 Les caractères des groupes d'ordre pq81
  - 7.4.1 La classification des groupes d'ordre pq82
  - 7.4.2 Les caractères des groupes non abéliens d'ordres pq83
  - 8 Applications de la théorie des représentations linéaires85
  - 8.1 Une démonstration de la loi de réciprocité quadratique de Gauss86
  - 8.1.1 Le sous-groupe G1 des matrices triangulaires supérieures de SL2(Z/pZ)86
  - 8.1.2 Le groupe quotient G = G1/Cent(G1)87
  - 8.1.3 La loi de Gauss92
  - 8.2 Les groupes de Frobenius94
  - 8.3 Caractères des groupes d'ordre p3, p premier97
  - 8.3.1 Première famille98
  - 8.3.2 Seconde famille99
  - 8.4 Caractères des groupes U5 et G5100
  - 8.4.1 Les cycles de longueur n de Gn, n impair100
  - 8.4.2 Les classes de conjugaison de U5101
  - 8.4.3 Les caractères de U5102
  - 8.4.4 Les caractères de G5102
  - 9 Les représentations du groupe symétrique105
  - 9.1 Compléments sur l'algèbre d'un groupe fini105
  - 9.1.1 Propriétés universelles de C[G]105
  - 9.1.2 Interprétation fonctionnelle du produit dans C[G]106
  - 9.1.3 Structure euclidienne sur C[G]106
  - 9.1.4 Idéaux à gauche de C[G]107
  - 9.1.5 Un calcul de trace107
  - 9.2 Les modèles de Young108
  - 9.2.1 Partitions d'entiers et formes de Young108
  - 9.2.2 Opération de Gn sur Tn109
  - 9.2.3 Un ordre sur Fn109
  - 9.2.4 Stabilisateurs associés à un tableau de Young110
  - 9.2.5 Un critère d'égalité des formes de deux tableaux de Young110
  - 9.2.6 Une propriété des tableaux de formes différentes111
  - 9.2.7 Propriété caractéristique du symétriseur de Young112
  - 9.3 Les représentations irréductibles de Gn112
  - A Exercices et problèmes sur les groupes115
  - B Exercices et problèmes sur les caractères123
  - C Exercices et problèmes sur les représentations induites131
  - Bibliographie139
  - Index141
Origine de la notice:
- Electre