Algèbre corporelle

Auteur(s) :

Chambert-Loir, Antoine (1971-....) Découvrir l'auteur

Résumé

Dans ce manuel d'algèbre, l'accent est mis sur la structure de corps. Il y est question d'équations polynomiales et différentielles, et de la structure algébrique de leurs solutions.

Éditeur(s)
- les Éd. de l'École polytechnique
Date
- impr. 2005
Notes
- Bibliogr. 181. Index
Langues
- Français
Description matérielle
- 1 vol. (186 p.) : ill., couv. ill. ; 24 cm
Sujet(s)
- Manuels d'enseignement supérieur
- Corps algébriques
ISBN
- 2-7302-1217-5
Indice
- 512.95 Structures algébriques (groupes, anneaux, corps etc.), treillis
Quatrième de couverture
- Ce petit livre d'algèbre est issu d'un cours enseigné aux élèves de seconde année de l'École Polytechnique. Il met l'accent sur la structure de corps et s'intéresse aux équations, polynomiales ou différentielles, ainsi qu'à la nature algébrique de leurs solutions. Outre les résultats désormais classiques de la théorie de Galois des extensions algébriques, ce livre contient la démonstration de la transcendance de Pi et e, du théorème d'irréductibilité de Hilbert, ainsi qu'une introduction aux groupes de Galois différentiels.
  Il contient aussi des théorèmes d'analyse, comme le fait que le corps des nombres complexes est algébriquement clos, la transcendance de e et Pi mentionnée plus haut, ou le théorème de Puiseux qui montre comment l'on peut paramétrer les racines d'une équation polynomiale dont les coefficients varient. Il comporte également quelques indications historiques, ainsi que des reproductions de timbres mathématiques et des images de mathématiciens ; l'auteur espère que cela rendra son livre plus vivant.
Tables des matières
- - Algèbre corporelle
  - Antoine Chambert-Loir
  - Les éditions de l'École polytechnique
  - Présentation vii
  - 1. Extensions de corps 1
  - Constructions à la règle et au compas1
  - Corps3
  - Extensions de corps9
  - Quelques impossibilités classiques14
  - Fonctions symétriques des racines18
  - Appendice : transcendance de e et Pi21
  - Exercices25
  - 2. «Mais où sont mes racines ?» 31
  - Anneau des restes31
  - Extensions de décomposition34
  - Corps algébriquement clos ; clôture algébrique35
  - Appendice : structure des anneaux de polynômes39
  - Appendice : anneaux quotients42
  - Appendice : théorème de Puiseux45
  - Exercices49
  - 3. Théorie de Galois 53
  - Homomorphismes d'une extension dans une clôture algébrique53
  - Groupe d'automorphismes d'une extension56
  - Le groupe de Galois comme groupe de permutations des racines62
  - Discriminant, résolvantes65
  - Corps finis70
  - Exercices72
  - 4. Un peu de théorie des groupes 79
  - Groupes (rappels de définitions)79
  - Sous-groupes80
  - Opération d'un groupe sur un ensemble82
  - Sous-groupes distingués, groupes quotients83
  - Groupes résolubles, nilpotents86
  - Groupe symétrique, alterné88
  - Groupes de matrices92
  - Exercices96
  - 5. Applications 101
  - Constructibilité à la règle et au compas101
  - Cyclotomie103
  - Extensions composées107
  - Extensions cycliques110
  - Les équations de degrés inférieur à 4112
  - Résolubilité par radicaux118
  - Comment (ne pas) calculer des groupes de Galois121
  - Spécialisation des groupes de Galois124
  - L'équation générique et le théorème d'irréductibilité de Hilbert131
  - Exercices137
  - 6. Équations différentielles 143
  - Corps différentiels143
  - Extensions différentielles. Construction de dérivations146
  - Équations différentielles149
  - Extensions de Picard-Vessiot152
  - Le groupe de Galois différentiel. Exemples155
  - La correspondance de Galois différentielle160
  - Extensions élémentaires161
  - Appendice : théorème des zéros de Hilbert167
  - Exercices169
  - Problèmes d'examen 171
  - Bibliographie 181
  - Index 183
Origine de la notice:
- BNF