anneaux-Corps. vol. 1 , Eléments de théorie des anneaux

Auteur(s) :

Calais, Josette (1931-2022) Découvrir l'auteur

Résumé

Destiné aux étudiants de licence et de maîtrise de mathématiques, contient l'essentiel des connaissances de base de la théorie des anneaux commutatifs. Chaque chapitre de cours est suivi d'exercices et de problèmes.

Éditeur(s)
- Presses universitaires de France
Date
- 2002
Notes
- Bibliogr. p. 323-325. Index
Langues
- Français
Description matérielle
- X-330 p. : couv. ill. ; 22 cm
Collections
- Anneaux-corps
Sujet(s)
- Anneaux commutatifs
ISBN
- 2-13-052352-8
Indice
- 512.95 Structures algébriques (groupes, anneaux, corps etc.), treillis
Quatrième de couverture
- Ce livre, d'abord destiné aux étudiants de licence et maîtrise de mathématiques, contient l'essentiel des connaissances de base de la théorie des anneaux commutatifs ; il doit donc intéresser les candidats à l'agrégation de mathématiques et les élèves des classes préparatoires aux grandes écoles scientifiques.
  Chaque chapitre est suivi d'exercices ou problèmes qui, mettent en relief les principaux résultats du cours ou les complètent.
Tables des matières
- - Anneaux - Corps
  - Vol. 1 Eléments de théorie des anneaux
  - Josette Calais
  - Presses Universitaires de France
  - PréfaceXI
  - IntroductionXIII
  - NotationsXV
  - Chapitre 1. Structure d'anneau1
  - 1. Notions fondamentales1
  - A. Anneau1
  - B. Règles de calculs dans les anneaux2
  - C. Eléments inversibles dans un anneau unitaire - Corps4
  - D. Premiers exemples d'anneaux et de corps5
  - E. Diviseurs de zéro - Anneaux intègres9
  - 2. Sous-anneaux10
  - A. Notion de sous-anneau - Propriétés élémentaires10
  - B. Sous-anneau engendré par une partie non vide d'un anneau12
  - 3. Notions d'idéal à gauche, à droite, bilatère13
  - 4. Morphismes d'anneaux14
  - A. Définitions14
  - B. Propriétés des morphismes d'anneaux15
  - C. Caractéristique d'un anneau unitaire18
  - 5. Produit direct d'anneaux19
  - A. Produit direct de deux anneaux19
  - B. Produit direct d'une famille quelconque d'anneaux21
  - C. Propriété universelle du produit direct d'anneaux22
  - Exercices23
  - Chapitre 2. Idéaux d'un anneau29
  - 1. Idéal engendré par une partie d'un anneau29
  - 2. Opérations sur les idéaux d'un anneau30
  - A. Intersection, réunion d'idéaux30
  - B. Somme d'idéaux dans un anneau unitaire31
  - C. Produit d'idéaux dans un anneau unitaire34
  - D. Propriétés des opérations sur les idéaux35
  - 3. Anneaux quotients36
  - A. Notion d'anneau quotient36
  - B. Propriétés des anneaux quotients38
  - C. Idéaux bilatères copremiers (ou étrangers)42
  - 4. Idéaux premiers - Idéaux maximaux45
  - A. Idéaux premiers d'un anneau unitaire et commutatif46
  - B. Idéaux maximaux d'un anneau unitaire49
  - 5. Notion d'anneau local51
  - 6. Notion d'anneau commutatif noethérien52
  - A. Condition maximale - Condition de chaîne ascendante52
  - B. Anneau commutatif noethérien53
  - 7. Nilradical et Radical de Jacobson56
  - 8. Anneaux booléens58
  - Exercices62
  - Chapitre 3. Modules et Algèbres69
  - 1. Notion de A-module69
  - 2. Sous-modules70
  - A. Notion de sous-module70
  - B. Sous-module engendré par une partie d'un A-module72
  - C. Somme de sous-modules73
  - 3. Morphismes de A-modules75
  - 4. Modules quotients78
  - 5. Produit direct et somme directe de A-modules79
  - A. Produit direct de A-modules79
  - B. Somme directe de A-modules81
  - 6. Notion de A-module libre85
  - 7. Suites exactes de A-modules89
  - 8. A-modules noethériens91
  - 9. Notion de A-algèbre93
  - 10. Algèbre des quaternions réels94
  - A. La R-algèbre H94
  - B. Calculs dans H96
  - Exercices98
  - Chapitre 4. Algèbres de polynômes103
  - 1. Polynômes à une indéterminée sur A103
  - A. Construction de l'algèbre des polynômes à une indéterminée sur A103
  - B. Propriété universelle de l'anneau des polynômes à une indéterminée sur A105
  - C. Propriétés des degrés des polynômes de A[X]108
  - D. Composition des polynômes109
  - E. Fonction polynôme111
  - F. Polynômes dérivés112
  - 2. Polynômes à une indéterminée sur un corps K115
  - A. Division euclidienne dans K[X]115
  - B. Racines d'un polynôme de K[X]118
  - C. Division suivant les puissances croissantes121
  - 3. Polynômes à n indéterminées sur A, n > 1123
  - A. Construction de l'algèbre des polynômes à n indéterminées123
  - B. Propriété universelle de l'anneau A[X1,..., Xn], n > 1125
  - C. Degrés des polynômes de A[X1,..., Xn], n > 1127
  - D. Fonction polynôme à n indéterminées128
  - E. Polynômes sur un anneau noethérien A129
  - Exercices130
  - Chapitre 5. Factorisation dans les domaines d'intégrité135
  - 1. Corps des fractions d'un domaine d'intégrité135
  - A. Construction du corps des fractions d'un D.I.135
  - B. Propriétés du corps des fractions d'un D.I.137
  - 2. Eléments remarquables dans un D.I.140
  - A. Diviseurs et unités dans un anneau unitaire, commutatif140
  - B. Eléments associés dans un D.I.141
  - C. Eléments irréductibles dans un D.I.143
  - D. Eléments premiers dans un D.I.144
  - 3. Notion de p.g.c.d. dans un D.I.147
  - A. p.g.c.d. de n éléments non nuls dans A, n ≥ 2148
  - B. Eléments premiers entre eux dans un D.I.151
  - C. Eléments premiers entre eux dans un D.P.154
  - 4. Notion de p.p.c.m. dans un D.I.155
  - 5. Anneaux euclidiens160
  - A. Notion d'anneau euclidien160
  - B. p.g.c.d. et p.p.c.m. dans un anneau euclidien166
  - 6. Anneaux factoriels169
  - A. Notion d'anneau factoriel169
  - B. p.g.c.d. et p.p.c.m. dans un anneau factoriel173
  - C. Anneaux de polynômes sur un anneau factoriel174
  - Exercices181
  - Chapitre 6. Localisation193
  - 1. Localisation par une partie multiplicative de A193
  - A. Notion de partie multiplicative193
  - B. Localisé de A par une partie multiplicative194
  - 2. Idéaux de S-1 A198
  - 3. Localisés d'un domaine d'intégrité204
  - 4. Localisé d'un A-module207
  - A. Localisé d'un A-module par S207
  - B. Localisé d'un morphisme de A-modules207
  - C. Propriétés des modules localisés209
  - Exercices212
  - Chapitre 7. Séries formelles217
  - 1. Séries formelles à une indéterminée sur A217
  - A. Algèbre des séries formelles à une indéterminée sur A217
  - B. Notion d'ordre d'une série formelle219
  - C. Notion de famille sommable dans A[[X]]221
  - D. Substitution d'une série formelle dans une autre224
  - E. Notion de séries formelle dérivée dans A[[X]]225
  - 2. Eléments inversibles dans l'anneau A[[X]]226
  - 3. Propriétés de l'anneau A[[X]]228
  - 4. Séries formelles et fractions rationnelles234
  - 5. Structure d'espace métrique de A[[X]]239
  - A. Norme et distance dans A[[X]]239
  - B. Etude de l'espace métrique A[[X]]240
  - 6. Séries formelles à n indéterminées sur A, n > 1241
  - A. A-algèbre des séries formelles à n indéterminées241
  - B. Propriétés de l'anneau A[[X1,..., Xn]]242
  - Exercices243
  - Chapitre 8. Polynômes symétriques247
  - 1. Ordre lexicographique dans A[X1,..., Xn], n > 1247
  - 2. Polynômes symétriques dans A[X1,..., Xn], n > 1248
  - A. Notion de polynôme symétrique248
  - B. Théorème fondamental251
  - C. Recherche pratique du polynôme Phi connaissant f254
  - 3. Formules de Newton256
  - 4. Fractions rationnelles symétriques260
  - A. Notion de fraction rationnelle symétrique260
  - B. Applications des fractions rationnelles symétriques262
  - 5. Résultant - Discriminant264
  - A. Introduction264
  - B. Résultant de deux polynômes265
  - C. Calcul de R(f, g) en fonction des racines de f et de g268
  - D. Discriminant d'un polynôme270
  - 6. Applications273
  - A. Problème général d'élimination273
  - B. Transformation des équations polynômiales274
  - Exercices278
  - Appendice A. Propriétés arithmétiques de Z287
  - 1. Rappels287
  - 2. Divisibilité dans Z. Notion de nombre premier287
  - 3. Division et congruences dans Z289
  - A. Division dans Z289
  - B. Congruence dans Z290
  - 4. Factorisation unique dans Z291
  - A. Théorème fondamentale de l'arithmétique291
  - B. Théorème de factorisation unique dans Z292
  - C. Conséquences du théorème de factorisation unique293
  - 5. p.g.c.d. et p.p.c.m. dans Z. Théorème de Bezout294
  - A. Notion de p.g.c.d. et p.p.c.m. dans Z294
  - B. Eléments premiers entre eux dans Z. Théorème de Bezout297
  - C. Généralisation301
  - Appendice B. Produit tensoriel303
  - 1. Produit tensoriel de deux A-modules303
  - A. Applications bilinéaires303
  - B. Construction du produit tensoriel de deux A-modules304
  - C. Propriétés du produit tensoriel308
  - 2. Produit tensoriel de morphismes de A-modules311
  - 3. Produit tensoriel et suites exactes315
  - 4. Restriction et extension des scalaires318
  - A. Restriction des scalaires318
  - B. Extension des scalaires319
  - 5. Produit tensoriel de A-algèbres319
  - Bibliographie323
  - Index327
Origine de la notice:
- BNF