Groupes et symétries : groupes finis, groupes algèbres de Lie, représentations

Auteur(s) :

Kosmann-Schwarzbach, Yvette (1941-....) Découvrir l'auteur

Résumé

Donne une vue d'ensemble sur les groupes de symétries et leurs représentations. Aborde l'étude des représentations des groupes finis à l'aide de la théorie des caractères, expose la notion d'algèbre de Lie et présente à l'aide d'exemples les représentations du groupe spécial unitaire en dimension 3.

Éditeur(s)
- Ecole polytechnique
Date
- 2005
Notes
- Bibliogr. Index
Langues
- Français
Description matérielle
- 193 p. : ill. ; 24 x 17 cm
Collections
- Mathématiques
Sujet(s)
ISBN
- 2-7302-1257-4
Indice
- 512.95 Structures algébriques (groupes, anneaux, corps etc.), treillis
Quatrième de couverture
- La théorie des représentations de groupes, utilisant algèbre, géométrie et analyse, possède de multiples applications aux sciences physiques, en cristallographie, chimie, physique atomique et subatomique, ainsi que dans les théories de champ.
  Ce livre est une introduction à cette théorie, à l'usage des étudiants de mathématiques et de physique. Il s'adresse à des lecteurs ayant les connaissances d'algèbre linéaire du premier cycle universitaire. Des exercices pour chaque chapitre et des problèmes corrigés complètent le cours.
  L'objet de ce livre est de donner une première vue d'ensemble sur les groupes de symétries et leurs représentations.
  On y trouvera l'étude, à l'aide de la théorie des caractères, des représentations des groupes finis, dont les résultats principaux sont ensuite étendus aux groupes compacts en utilisant l'intégrale de Haar.
  Dans la suite du cours, la notion d'algèbre de Lie est introduite, celle de groupe de Lie est étudiée en se limitant au cas des groupes de Lie linéaires, et les propriétés essentielles liant groupes et algèbres de Lie sont exposées.
  Les exemples fondamentaux pour la physique quantique, le groupe des rotations et le groupe spécial unitaire en dimension 2, sont étudiés en détails, leurs représentations irréductibles sont déterminées, et un chapitre traite des harmoniques sphériques.
  Enfin, on aborde sur des exemples l'étude des représentations du groupe spécial unitaire en dimension 3, introduisant les notions de racines et de poids, et l'on montre que la théorie des quarks apparaît comme conséquence des propriétés mathématiques du groupe de symétries.
Tables des matières
- - Groupes et symétries
  - Groupes finis, groupes et algèbres de Lie, représentations
  - Yvette Kosmann-Schwarzbach
  - École polytechnique
  - Introduction7
  - 1 Généralités sur les groupes 13
  - 1 Rappel de quelques définitions13
  - 2 Exemples de groupes finis14
  - 2.1 Groupe cyclique d'ordre n14
  - 2.2 Groupe symétrique (...)_n14
  - 2.3 Groupe diédral15
  - 2.4 Autres exemples15
  - 3 Exemples de groupes infinis15
  - 4 Actions de groupes, classes de conjugaison17
  - 5 Références18
  - 6 Exercices18
  - 2 Représentations des groupes finis 21
  - 1 Représentations21
  - 1.1 Généralités21
  - 1.2 Représentations irréductibles23
  - 1.3 Somme directe de représentations23
  - 1.4 Opérateurs d'entrelacement, lemme de Schur24
  - 2 Caractères et relations d'orthogonalité26
  - 2.1 Fonctions sur un groupe, coefficients matriciels26
  - 2.2 Caractère d'une représentation, relations d'orthogonalité27
  - 2.3 Table de caractères30
  - 2.4 Application à la décomposition des représentations31
  - 3 La représentation régulière32
  - 3.1 Définition32
  - 3.2 Caractère de la représentation régulière33
  - 3.3 Décomposition en composantes isotypiques33
  - 3.4 Base de l'espace vectoriel des fonctions centrales34
  - 4 Opérateurs de projection36
  - 5 Représentations induites37
  - 5.1 Définition37
  - 5.2 Interprétation géométrique38
  - 6 Références38
  - 7 Exercices39
  - 3 Représentations des groupes compacts 45
  - 1 Groupes compacts45
  - 2 Mesure de Haar46
  - 3 Représentations des groupes topologiques. Lemme de Schur48
  - 3.1 Généralités48
  - 3.2 Coefficients d'une représentation48
  - 3.3 Opérateurs d'entrelacement49
  - 3.4 Opérations sur les représentations50
  - 3.5 Lemme de Schur50
  - 4 Représentations des groupes compacts51
  - 4.1 Complète réductibilité51
  - 4.2 Relations d'orthogonalité52
  - 5 Résumé du chapitre 355
  - 6 Références56
  - 7 Exercices56
  - 4 Groupes et algèbres de Lie 59
  - 1 Algèbres de Lie59
  - 1.1 Définition et exemples59
  - 1.2 Morphismes61
  - 1.3 Relations de commutation, constantes de structure61
  - 1.4 Formes réelles61
  - 1.5 Représentations d'algèbres de Lie62
  - 2 Rappels sur l'application exponentielle63
  - 3 Sous-groupes à un paramètre de GL (n, K)66
  - 4 Groupes de Lie68
  - 5 Algèbre de Lie d'un groupe de Lie69
  - 6 Morphismes de groupes et d'algèbres de Lie72
  - 6.1 Différentielle d'un morphisme de groupes de Lie72
  - 6.2 Différentielle d'une représentation de groupe de Lie74
  - 6.3 La représentation adjointe76
  - 7 Références77
  - 8 Exercices78
  - 5 Les groupes de Lie SU(2) et SO(3) 83
  - 1 Les algèbres de Lie su(2) et so(3)83
  - 1.1 Bases de su(2)83
  - 1.2 Bases de so(3)85
  - 1.3 Bases de sl(2, C)86
  - 2 Le morphisme de revêtement de SU(2) sur SO(3)86
  - 2.1 Le groupe de Lie SO(3)86
  - 2.2 Le groupe de Lie SU(2)88
  - 2.3 Projection de SU(2) sur SO(3)90
  - 3 Références91
  - 4 Exercices91
  - 6 Les représentations de SU(2) et SO(3) 93
  - 1 Représentations irréductibles de sl(2, C)93
  - 1.1 Les représentations D^j93
  - 1.2 Opérateur de Casimir96
  - 1.3 Hermiticité des opérateurs J₃ et J²96
  - 2 Représentations de SU(2)98
  - 2.1 Les représentations D^j98
  - 2.2 Caractères des représentations D^j101
  - 3 Représentations de SO(3)102
  - 4 Références102
  - 5 Exercices103
  - 7 Les harmoniques sphériques 105
  - 1 Rappel sur L²(S²)105
  - 2 Les polynômes harmoniques106
  - 2.1 Représentations de groupes dans des espaces de fonctions106
  - 2.2 Les espaces de polynômes harmoniques106
  - 2.3 Représentations de SO(3) dans les espaces de polynômes harmoniques107
  - 3 Les harmoniques sphériques109
  - 3.1 Représentations de SO(3) dans les espaces d'harmoniques sphériques110
  - 3.2 Opérateur de Casimir111
  - 3.3 Fonctions propres de l'opérateur de Casimir111
  - 3.4 Bases des espaces d'harmoniques sphériques112
  - 3.5 Formules explicites115
  - 4 Références116
  - 5 Exercices116
  - 8 Les représentations de SU(3) et les quarks 119
  - 1 Rappels sur sl(n, C>), représentations de sl(3, C) et de SU(3)119
  - 1.1 Rappels sur sl(n, C)119
  - 1.2 Cas de sl(3, C)120
  - 1.3 Les bases (I₃, Y) et (I₃, T₈) de (...)122
  - 1.4 Représentations de sl(3, C) et de SU(3)122
  - 2 Représentation adjointe, racines122
  - 3 Représentation standard et sa contragrédiente124
  - 3.1 Représentation standard (fondamentale)124
  - 3.2 Contragrédiente de la représentation standard125
  - 4 Poids maximal d'une représentation de dimension finie126
  - 4.1 Poids maximal126
  - 4.2 Les poids comme combinaisons linéaires des (...)_i127
  - 4.3 Représentations de dimension finie, poids128
  - 4.4 Autre exemple : la représentation 6129
  - 4.5 Encore un exemple : la représentation 10130
  - 5 Produits tensoriels de représentations131
  - 6 « The eightfold way »134
  - 6.1 Baryons (B = 1)135
  - 6.2 Mésons (B = 0)136
  - 6.3 Résonances baryoniques136
  - 7 Les quarks et les antiquarks137
  - 8 Références138
  - 9 Exercices139
  - Problèmes corrigés141
  - 1 Restriction d'une représentation à un groupe fini141
  - 2 Le groupe O(2)143
  - 3 Représentations du groupe diédral et du groupe des quaternions146
  - 4 Représentations irréductibles de SU(2) x SU(2)156
  - 5 Opérateurs de projection163
  - 6 Symétries des molécules de fullerènes171
  - 7 Coefficients matriciels et harmoniques sphériques181
  - Bibliographie189
  - Index191
Origine de la notice:
- Electre