Promenades Mathématiques
Histoire · Fondements · Applications
Frédéric Laroche
ellipses
Préface
7
Avant-propos
8
1. Une brève Histoire des mathématiques
13
1. Les ancêtres13
2. Les Grecs14
3. La Renaissance17
4. Les mathématiques triomphent!20
4-a: Newton21
4-b: Philosophie des sciences23
4-c: Principales réalisations25
5. Premières remises en cause26
6. L'incroyable efficacité des mathématiques31
7. L'axiomatisation32
2. Arithmétique
39
1. Un peu d'histoire39
2. Musiques célestes41
3. A l'assaut de Bézout46
4. Diophante, précurseur de génie49
5. Le théorème chinois51
6. Comment peut-on en arriver à de telles extrémités?52
7. Deux utilisations de la méthode de descente infinie54
8. Rivest, Sharon et Adelman55
9. Le théorème des nombres premiers et l'hypothèse de Riemann57
9-a: Premières approches57
9-b: Le théorème des nombres premiers58
9-c: L'hypothèse de Riemann59
9-d: Equirépartition des nombres premiers63
10. Fractions continues64
10-a: Théorème de Liouville64
10-b: Développement en fraction continue65
10-c: Algorithme de calcul de pi68
10-d: Fractions continues et séries68
11. Les nombres p-adiques70
12. Conclusion
72
3. Suites et Séries
73
1. Zénon, la Flèche et Achille73
2. Les clients et la banque75
3. La banque et les clients76
4. Fibonacci et ses lapins77
4-a: Offre, demande, prix d'équilibre80
4-b: Convergences81
4-c: Méthode de Newton pour résoudre des équations82
5. De Newton à Weierstrass en passant par Cauchy: les séries84
6. Nombres et polynômes de Bernoulli88
7. Les suites de Michel Mendès-France90
8. Syracuse92
4. Algèbre95
1. Résolution de l'équation du second degré96
1-a: Construction des racines96
1-b: Construction du pentagone régulier97
2. Résolution de l'équation du troisième degré98
2-a: Résolution de «Cardan»99
2-b: Trisection de l'angle100
2-c: Résolution géométrique par Descartes100
3. Résolution de l'équation du quatrième degré101
3-a: Résolvons101
3-b: Un petit problème de niveau 4102
4. Les complexes103
5. Le théorème fondamental de l'algèbre105
5-a: Une démonstration105
5-b: Polygone régulier à 17 côtés108
6. Un peu d'économie110
7. Notion de groupe114
8. Groupes de transformations117
8-a: Le groupe linéaire118
8-b: Les symétries en Physique119
9. Quaternions122
5. Fonctions125
1. Ce qu'il faut savoir125
2. Limites, continuité, infini127
3. L'analyse non-standard130
4. Un concept laborieusement construit132
4-a: La cycloïde133
4-b: Découvertes135
5. Un peu de cours137
5-a: Fonctions non dérivables139
5-b: Volume d'une boîte de conserve140
5-c: Embouteillages140
5-d: Loi de la réfraction de Descartes-Snell141
6. Calcul des dérivées143
6-a: Formules143
6-b: Primitives144
6-c: Dérivées partielles et gradient144
7. Les théorèmes fondamentaux145
8. Polynômes et Interpolation147
8-a: Formule du binôme147
8-b: Interpolation de Lagrange148
8-c: Interpolation de Gregory-Newton148
8-d: Courbes de Bézier149
8-c: B-spline151
9. Quelques applications en Economie152
10. Enveloppe, courbure, développée154
6. Intégrales159
1. Ce qu'il faut savoir159
1-a: Intégrale de Leibniz159
1-b: Intégrale de Riemann160
1-c: Propriétés162
1-d: Centre de gravité162
1-e: Quelques résultats intéressants163
1-f: Techniques d'intégration164
2. Calcul numérique165
3. Une fonction très importante166
3-a: Intégration de la fonction de Gauss166
3-b: Dérivation et intégration de quelques fonctions complexes168
4. Applications physiques170
4-a: L'isochrone de Leibniz170
4-b: La tractrice171
4-c: La caténaire172
4-d: La brachystochrone172
4-e: Calcul du champ magnétique174
5. Diffraction176
5-a: Fresnel176
5-b: Fraunhofer179
6. Courbe de Lorenz et coefficient de Gini181
7. Fonctions Transcendantes183
1. Séries entières et séries de Taylor183
1-a: Généralités183
1-b: Série de Riemann184
1-c: Suites de Dirac184
1-d: Intégrales de Wallis185
1-e: Séries de Taylor185
1-f: Binôme de Newton186
2. Formule d'Euler - MacLaurin186
2-a: La formule186
2-b: Formule de Stirling187
3. Les fonctions trigonométriques188
3-a: Un peu de géométrie188
3-b: Dérivées191
3-c: Réciproques et primitives191
3-d: Développements en série192
3-e: Calcul de pi194
3-f: Mouvement circulaire195
3-g: Bretelles d'autoroute195
3-h: Ondes stationnaires196
3-i: Résonance198
4. Les fonctions logarithmes198
4-a: Aperçu historique198
4-b: Ce qu'il faut savoir200
4-c: PH d'une solution201
4-d: Distance d'une étoile202
4-e: Loi de Verdoorn203
4-f: Calcul des logarithmes204
4-g: Interprétation graphique205
4-h: Tables de logarithmes206
5. Les fonctions exponentielles207
5-a: Ce qu'il faut savoir207
5-b: Quadrature de l'hyperbole209
5-c: Taux d'intérêt mathématique210
5-d: Croissances exponentielles211
6. Trigonométrie hyperbolique211
6-a: Quadrature de l'hyperbole211
6-b: Calcul de s, c, t212
6-c: Développement de cosh, sinh, tanh214
6-d: Lois du rayonnement stellaire215
7. Un peu d'analyse complexe216
8. Géométrie219
1. Eratosthène220
2. Aristarque222
3. Apollonius225
4. Coniques225
4-a: Définition analytique225
4-b: Quelques propriétés géométriques229
4-c: Aire de l'ellipse230
4-d: Coniques dans l'espace231
4-e: Les sphères de Germinal Dandelin232
4-f: Problème d'Apollonius233
5. Hipparque234
5-a: Projection stéréographique234
5-b: Loxodromie237
6. Courbes238
6-a: Spirales238
6-b: Astroïde239
6-c: Cycloïde240
6-d: Epicycloïde240
6-e: Lemniscate241
6-f: Ovales de Cassini242
6-g: Caustique242
6-h: Conchoïde243
6-i: Cissoïde244
6-j: La statue244
7. Solides et volumes245
7-a: Calcul245
7-b: Polyèdres246
8. Optique249
8-a: Construction de Huygens251
8-b: Equerre optique251
8-c: Fibre optique252
8-d: Un petit mirage252
9. En avant vers la géométrie projective253
9-a: Pour commencer254
9-b: Birapport256
9-c: Division harmonique257
10. Transformations259
11. Deux théorèmes263
11-a: Desargues263
11-b: Pappus263
12. Retour à l'optique267
13. Géométries non-euclidiennes272
13-a: Travail272
13-b: Longueurs273
13-c: Courbures274
13-d: Géométries276
13-e: Géodésiques277
9. Equations Différentielles
281
1. Petite histoire des équations différentielles282
2. Ce qu'il est bon de savoir284
2-a: Conditions284
2-b: Solution particulière285
2-c: Champ des tangentes285
2-d: Méthodes de calcul approché285
2-e: Résolution par variation de la constante287
2-f: Résolution par séparation des variables287
2-g: Equations linéaires du premier ordre à coefficients constants sans second membre287
2-h: Equations linéaires du second ordre à coefficients constants sans second membre287
2-i: Avec second membre287
2-j: Résolution par les séries287
3. Circuit RLC288
4. Attraction, attraction292
5. Pendule296
6. Roues et routes299
7. Courbe du chien300
8. La rumeur302
9. Exemple de réaction chimique oscillante303
10. Développement d'une populationen milieu fermé306
11. Le modèle du ver du bourgeon de l'épinette308
12. Systèmes Lotka-Volterra309
10. Fractales et Chaos315
1. Courbe de Von Koch et fractales géométriques316
2. Fonctions itérées (IFS)318
3. Chaos: introduction319
4. Agrégats321
5. Percolation323
6. Loi de Verhulst et arbre de Feigenbaum324
7. La transformation du boulanger327
8. Attracteurs: Lorenz, Hénon328
9. Sensibilité aux conditions initiales332
10. Ensembles de Julia ensemble de Mandelbrot333
11. Fourier, les ondes, la transformée
337
1. Aperçu historique337
2. Séries de Fourier343
3. Phénomène de Gibbs344
4. Le rond et le carré345
5. Séries de Fourier des polynômes de Bernoulli346
6. Transformée de Fourier349
7. Utilisations350
7-a: TF de la loi Normale350
7-b: TF de la loi de Cauchy351
7-c: TF de la fonction de Dirac351
7-d: Théorème d'échantillonnage de Shannon351
7-e: Transformée de Fourier rapide352
7-f: Ondelettes354
8. L'équation de la chaleur355
8-a: Equation de la chaleur dans une barre355
8-b: Résolution par la méthode des différences finies355
8-c: Propagation de la chaleur dans une barre infinie
357
12. Probabilités et Statistiques359
1. Aperçu historique359
2. Probabilités discrètes362
2-a: Définitions362
2-b: Quelques problèmes classiques362
2-c: Probabilités conditionnelles364
2-d: Formule de Bayes365
3. Variable aléatoire367
4. Moyenne - Espérance mathématique368
5. Fonction caractéristique370
6. Paramètres de dispersion371
7. La méthode de Monte-Carlo372
8. Variables indépendantes374
9. Somme de deux variables aléatoires indépendantes374
10. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev - Lois des grands nombres375
11. Lois discrètes377
11-a: Loi géométrique377
11-b: Loi hypergométrique378
11-c: Loi binomiale380
11-d: Loi de Poisson382
11-e: Loi du khi-deux, loi polynomiale383
12. Lois continues384
12-a: Loi uniforme385
12-b: Loi de Cauchy386
12-c: Loi Normale ou Loi de Laplace-Gauss387
12-d: Théorème central limite389
12-e: Chercher l'erreur391
12-f: Mouvement brownien392
12-g: Lois issues de la loi Normale et loi du khi-deux394
12-h: Méthode des moindres carrés395
13. Estimation398
13-a: Qualités d'un estimateur398
13-b: Chercher des estimateurs399
14. Tests d'hypothèse399
14-a: Quelques idées399
14-b: Un peu de théorie400
14-c: Comparer des paramètres401
14-d: Quelques remarques402
15. Black, Merton et Scholes403
16. Conclusion
404
13. Relativité et Mécanique Quantique
407
1. La Relativité Restreinte408
1-a: Transformations408
1-b: Expérience de Michelson-Morley409
1-c: Temps411
1-d: Géométrie (1)413
2. La Relativité Généralisée414
2-a: Masses (1)414
2-b: Vitesses415
2-c: Masses (2)416
2-d: Espace - temps417
2-e: Energie418
2-f: Géométrie (2)420
2-g: Géodésiques422
2-h: Conclusion (1)424
3. Mécanique Quantique424
3-a: Incertitudes425
3-b: Mécanique statistique427
3-c: Emission et absorption de photons429
3-d: Probabilités quantiques431
3-e: Conclusion (2)
435
Fiche Technique
439
1. Utiliser Chamois439
2. Utiliser Excel
440
Bibliographie
443
Index447